আয়তঘন | দশম শ্রেণী | K.D-4 | সমস্ত প্রশ্নের সমাধান

কষে দেখি-4

Table of Content(toc)

প্রশ্ন ১:
আমরা পরিবেশের ৪টি আয়তঘনাকার ও ৪টি ঘনক আকার বস্তুর নাম লিখি।

উত্তর:
আয়তঘনাকার আকারের বস্তু:

1. ইট
2. টেবিল
3. ফ্রিজ
4. কাঠের বাক্স

ঘনক আকারের বস্তু:

1. ছক্কা (ডাইস)
2. রুবিকস কিউব
3. চিনি বা লবণের ঘনক
4. খেলনা ঘনক

---

প্রশ্ন ২:
পাশের আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি, ধারগুলি ও শীর্ষবিন্দুগুলির নাম লিখি।

উত্তর:
(চিত্র না থাকায় সাধারণ উত্তর দেওয়া হলো:)

• তল: আয়তঘনাকারটির ৬টি তল থাকে।

  1. সামনের তল
  2. পেছনের তল
  3. উপরের তল
  4. নিচের তল
  5. ডান পাশের তল
  6. বাম পাশের তল

• ধার: আয়তঘনাকারটির মোট ১২টি ধার থাকে।

• শীর্ষবিন্দু: আয়তঘনাকারটির ৮টি শীর্ষবিন্দু থাকে।

---

প্রশ্ন ৩:
একটি সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে $5 \, \text{মি.}, 4 \, \text{মি.}, \text{ও} \, 3 \, \text{মি.}$ হলে, ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

উত্তর:
সমকোণী চৌপলাকার ঘরের সবচেয়ে লম্বা দণ্ড হলো এর কর্ণ।
এর দৈর্ঘ্যের সূত্র:

$$\text{কর্ণ} = \sqrt{\text{দৈর্ঘ্য}^2 + \text{প্রস্থ}^2 + \text{উচ্চতা}^2}$$

তথ্য অনুযায়ী:

$$\text{কর্ণ} = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} \approx 7.07 \, \text{মিটার}$$

সুতরাং, সবচেয়ে লম্বা দণ্ডের দৈর্ঘ্য $7.07 \, \text{মিটার}$।

---

প্রশ্ন ৪:
একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গমিটার হলে, ঘনকের আয়তন কত হবে?

উত্তর:
ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল $a^2 = 64$, যেখানে $a$ হলো ঘনকের ধার।

$$a = \sqrt{64} = 8 \, \text{মিটার}$$

ঘনকের আয়তন:

$$V = a^3 = 8^3 = 512 \, \text{ঘনমিটার}$$

সুতরাং, ঘনকের আয়তন $512 \, \text{ঘনমিটার}$।

---

প্রশ্ন ৫:
আমাদের বকুলতলা গ্রামে ২ মিটার চওড়া এবং ৪ ডেসিমি গভীর একটি খাল কাটা হয়েছে। যদি মোট ২৪০ ঘন মিটার মাটি কাটা হয়ে থাকে, তবে খালটির দৈর্ঘ্য কত হবে?

উত্তর:
খালের প্রস্থ = $2 \, \text{মি.}$
গভীরতা = $4 \, \text{ডেসিমি.} = 0.4 \, \text{মি.}$
মোট আয়তন = $240 \, \text{ঘন মিটার}$

দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র:

$$\text{দৈর্ঘ্য} = \frac{\text{আয়তন}}{\text{প্রস্থ} \times \text{গভীরতা}}$$ $$\text{দৈর্ঘ্য} = \frac{240}{2 \times 0.4} = \frac{240}{0.8} = 300 \, \text{মিটার}$$

সুতরাং, খালের দৈর্ঘ্য $300 \, \text{মিটার}$।

---

প্রশ্ন ৬:
একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $\frac{4}{3} \, \text{সেমি.}$ হলে, ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত হবে?

উত্তর:
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য:

$$\text{কর্ণ} = a\sqrt{3}$$

এখানে $a$ হলো ঘনকের ধার।

তথ্য অনুযায়ী:

$$a\sqrt{3} = \frac{4}{3}$$ $$a = \frac{\frac{4}{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{9} \, \text{সেমি.}$$

সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল:

$$\text{Surface Area} = 6a^2$$ $$a^2 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{9}\right)^2 = \frac{48}{81} = \frac{16}{27}$$ $$\text{Surface Area} = 6 \times \frac{16}{27} = \frac{96}{27} = \frac{32}{9} \, \text{বর্গ সেমি.}$$

সুতরাং, সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল $\frac{32}{9} \, \text{বর্গ সেমি.}$।

---

প্রশ্ন ৭:
একটি ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি. হলে, ঘনকের ঘনফল কত হবে?

উত্তর:
ঘনকের ধারগুলির মোট সংখ্যা = 12
তথ্য অনুযায়ী,

$$12a = 60 \implies a = \frac{60}{12} = 5 \, \text{সেমি.}$$

ঘনকের ঘনফল:

$$V = a^3 = 5^3 = 125 \, \text{ঘন সেমি.}$$

সুতরাং, ঘনকের ঘনফল $125 \, \text{ঘন সেমি.}$।

---

প্রশ্ন ৮:
যদি একটি ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গ সেমি. হয়, তবে ঘনকের আয়তন কত হবে?

উত্তর:
ঘনকের ৬টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল:

$$6a^2 = 216 \implies a^2 = \frac{216}{6} = 36$$ $$a = \sqrt{36} = 6 \, \text{সেমি.}$$

ঘনকের আয়তন:

$$V = a^3 = 6^3 = 216 \, \text{ঘন সেমি.}$$

সুতরাং, ঘনকের আয়তন $216 \, \text{ঘন সেমি.}$।

---

প্রশ্ন ৯:
একটি সমকোণী চৌপলের আয়তন 432 ঘন সেমি.। তাকে সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনক-এ পরিণত করা হলে, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে?

উত্তর:
প্রতিটি ঘনকের আয়তন:

$$V = \frac{432}{2} = 216 \, \text{ঘন সেমি.}$$

ঘনকের ধার:

$$a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{216} = 6 \, \text{সেমি.}$$

সুতরাং, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য $6 \, \text{সেমি.}$।

---

প্রশ্ন ১০:
একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে $50\%$ কমানো হলো। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কী হবে?

উত্তর:
মূল ঘনকের ধার $a$ হলে, পরিবর্তিত ঘনকের ধার:

$$\text{পরিবর্তিত ধার} = 50\% \, \text{হ্রাস} = \frac{a}{2}$$

মূল ঘনকের ঘনফল:

$$V_1 = a^3$$

পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফল:

$$V_2 = \left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{a^3}{8}$$

অনুপাত:

$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{a^3}{8}}{a^3} = \frac{1}{8}$$

সুতরাং, মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত $1:8$।

---

প্রশ্ন ১১:
একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত $3:2:1$ এবং উহার আয়তন $384 \, \text{ঘন সেমি.}$ হলে, বাক্সটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত হবে?

উত্তর:
দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে:

$$3x, 2x, x$$

আয়তন অনুযায়ী:

$$3x \times 2x \times x = 384 \implies 6x^3 = 384 \implies x^3 = 64 \implies x = 4$$

তাহলে,
দৈর্ঘ্য $= 3 \times 4 = 12 \, \text{সেমি.}$,
প্রস্থ $= 2 \times 4 = 8 \, \text{সেমি.}$,
উচ্চতা $= 4 \, \text{সেমি.}$

সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল:

$$\text{Surface Area} = 2 \left(\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} + \text{প্রস্থ} \times \text{উচ্চতা} + \text{উচ্চতা} \times \text{দৈর্ঘ্য}\right)$$ $$\text{Surface Area} = 2 \left(12 \times 8 + 8 \times 4 + 4 \times 12\right) = 2 \left(96 + 32 + 48\right) = 2 \times 176 = 352 \, \text{বর্গ সেমি.}$$

সুতরাং, বাক্সটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল $352 \, \text{বর্গ সেমি.}$।

---

প্রশ্ন ১২:
একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে $7.5 \, \text{ডেসিমি.}, 6 \, \text{ডেসিমি.}, 5.4 \, \text{ডেসিমি.}$। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন $52 \, \text{কিগ্রা.} 350 \, \text{গ্রাম}$। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন $3.75 \, \text{কিগ্রা.}$ হলে, $1 \, \text{ঘন ডেসিমি.}$ চা-এর ওজন কত হবে?

উত্তর:
চায়ের ওজন:

$$52.35 - 3.75 = 48.6 \, \text{কিগ্রা.}$$

বাক্সের আয়তন:

$$V = 7.5 \times 6 \times 5.4 = 243 \, \text{ঘন ডেসিমি.}$$

প্রতি $1 \, \text{ঘন ডেসিমি.}$ চায়ের ওজন:

$$\frac{48.6}{243} = 0.2 \, \text{কিগ্রা.} = 200 \, \text{গ্রাম}$$

সুতরাং, প্রতি $1 \, \text{ঘন ডেসিমি.}$ চায়ের ওজন $200 \, \text{গ্রাম}$।

---

প্রশ্ন ১৩:
একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য $x \, \text{সেমি.}$, বেধ $1 \, \text{মিমি.}$ এবং প্লেটটির ওজন $4725 \, \text{গ্রাম}$। যদি $1 \, \text{ঘন সেমি.}$ পিতলের ওজন $8.4 \, \text{গ্রাম}$ হয়, তবে $x$-এর মান কত হবে?

উত্তর:
প্লেটের আয়তন:

$$\text{আয়তন} = \frac{\text{ওজন}}{\text{ঘনত্ব}} = \frac{4725}{8.4} = 562.5 \, \text{ঘন সেমি.}$$

প্লেটের আয়তন:

$$x^2 \times 0.1 = 562.5 \implies x^2 = \frac{562.5}{0.1} = 5625$$

$$\implies x = \sqrt{5625} = 75 \, \text{সেমি.}$$

সুতরাং, $x = 75 \, \text{সেমি.}$।

---

প্রশ্ন ১৪:
চাঁদমারির রাস্তাটি উঁচু করতে হবে। তাই রাস্তার দু-পাশে ৩০টি সমান গভীর ও সমান মাপের আয়তঘনাকার গর্ত খুঁড়ে সেই মাটি দিয়ে রাস্তাটি উঁচু করা হয়েছে। যদি প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ১৪ মি. এবং ৪ মি. হয় এবং রাস্তাটি তৈরি করতে মোট ২৫২০ ঘন মিটার মাটি লেগে থাকে, তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা কত হবে?

উত্তর:
প্রতিটি গর্তের আয়তন:

$$\text{গর্তের আয়তন} = \text{মোট আয়তন} \div \text{গর্তের সংখ্যা} = \frac{2520}{30} = 84 \, \text{ঘন মিটার}$$

গর্তের গভীরতা $h$:

$$\text{গর্তের আয়তন} = \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} \times \text{গভীরতা}$$ $$84 = 14 \times 4 \times h \implies h = \frac{84}{14 \times 4} = \frac{84}{56} = 1.5 \, \text{মিটার}$$

সুতরাং, প্রতিটি গর্তের গভীরতা $1.5 \, \text{মিটার}$।

---

প্রশ্ন ১৫:
ঘনকাকৃতি একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের ৬৪ বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির
$\frac{\text{১}}{}$$\frac{\text{৮}}{}$ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য
$1.2$$$$\text{মিটার}$ হলে, প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে তা হিসাব করে লিখি।

উত্তর:
চৌবাচ্চার আয়তন:

$$V = a^3 = (1.2)^3 = 1.728 \, \text{ঘন মিটার}$$

তথ্য অনুযায়ী,

$$\text{উত্তোলিত জল} = V \times \left(1 - \frac{1}{8}\right) = V \times \frac{7}{8}$$ $$\text{উত্তোলিত জল} = 1.728 \times \frac{7}{8} = 1.512 \, \text{ঘন মিটার}$$

প্রতিটি বালতির আয়তন:

$$\text{বালতির আয়তন} = \frac{\text{উত্তোলিত জল}}{\text{বালতির সংখ্যা}} = \frac{1.512}{64} = 0.023625 \, \text{ঘন মিটার}$$ $$1 \, \text{ঘন মিটার} = 1000 \, \text{লিটার} \implies 0.023625 \, \text{ঘন মিটার} = 0.023625 \times 1000 = 23.625 \, \text{লিটার}$$

সুতরাং, প্রতিটি বালতিতে $23.625 \, \text{লিটার}$ জল ধরে।

---

প্রশ্ন ১৬:
এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে
$2.8$$$$\text{ডেসিমি.}$$,$$1.5$$$$\text{ডেসিমি.}$$,$$0.9$$$$\text{ডেসিমি.}$ হলে, একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন কত হবে? [এক গ্রোস =12$$$\text{ডজন}$]
কিন্তু যদি একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য 5$$$\text{সেমি.}$ এবং প্রস্থ 3.5$$$\text{সেমি.}$ হয়, তবে তার উচ্চতা কত হবে?

উত্তর (প্রথম অংশ):
একটি প্যাকেটের আয়তন:

$$V_{\text{প্যাকেট}} = 2.8 \times 1.5 \times 0.9 = 3.78 \, \text{ঘন ডেসিমি.}$$

এক গ্রোস = $12 \, \text{ডজন} = 12 \times 12 = 144 \, \text{দেশলাই বাক্স}$।
একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন:

$$V_{\text{দেশলাই বাক্স}} = \frac{V_{\text{প্যাকেট}}}{\text{দেশলাই বাক্সের সংখ্যা}} = \frac{3.78}{144} = 0.02625 \, \text{ঘন ডেসিমি.}$$

উত্তর (দ্বিতীয় অংশ):
একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য $5 \, \text{সেমি.}$ এবং প্রস্থ $3.5 \, \text{সেমি.}$,
তাহলে উচ্চতা $h$:

$$\text{আয়তন} = \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} \times \text{উচ্চতা}$$ $$0.02625 \, \text{ঘন ডেসিমি.} = 5 \, \text{সেমি.} \times 3.5 \, \text{সেমি.} \times h$$

$1 \, \text{ডেসিমি.} = 10 \, \text{সেমি.}$ হওয়ায়:

$$0.02625 \, \text{ঘন ডেসিমি.} = 26.25 \, \text{ঘন সেমি.}$$ $$26.25 = 5 \times 3.5 \times h \implies h = \frac{26.25}{17.5} = 1.5 \, \text{সেমি.}$$

সুতরাং, দেশলাই বাক্সের উচ্চতা $1.5 \, \text{সেমি.}$।

---

প্রশ্ন ১৭:
প্রদত্ত প্রশ্ন:
2.1 মিটার দৈর্ঘ্য এবং 1.5 মিটার প্রস্থের একটি আয়তাকার চৌবাচ্চা আছে। এতে চৌবাচ্চার গভীরতা 0.6 মিটার হলে, চৌবাচ্চায় মোট কত লিটার পানি ধারণ করতে পারবে তা নির্ণয় কর।
সমাধান:
চৌবাচ্চার আয়তন
$V$$=$$\text{দৈর্ঘ্য}$$\times$$\text{প্রস্থ}$$\times$$\text{গভীরতা}$

$V = 2.1 × 1.5 × 0.6 = 1.89 \, \text{ঘনমিটার}$

1 ঘনমিটার = 1000 লিটার।
তাহলে, $1.89 × 1000 = 1890 \, \text{লিটার}$।

উত্তর: চৌবাচ্চার ধারণক্ষমতা 1890 লিটার।

---

প্রশ্ন ১৮:

প্রদত্ত প্রশ্ন:
একটি খামারের জন্য দৈর্ঘ্য 20 মিটার এবং প্রস্থ 15 মিটার, মাটির পুরুত্ব 0.4 মিটার হলে, কত ঘনমিটার মাটি লাগবে তা নির্ণয় কর।

সমাধান:
মাটির পরিমাণ $V = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × পুরুত্ব$
$V = 20 × 15 × 0.4 = 120 \, \text{ঘনমিটার}$

উত্তর: প্রয়োজনীয় মাটি 120 ঘনমিটার।

---

প্রশ্ন ১৯:

প্রদত্ত প্রশ্ন:
48 মিটার লম্বা এবং 31.5 মিটার প্রস্থের একটি মাঠের গভীরতা 0.65 মিটার হলে, মাঠটি পূরণ করতে কত মাটি লাগবে তা নির্ণয় কর।

সমাধান:
মাটির পরিমাণ $V = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা$
$V = 48 × 31.5 × 0.65 = 981.6 \, \text{ঘনমিটার}$

উত্তর: প্রয়োজনীয় মাটি 981.6 ঘনমিটার।

---

প্রশ্ন ২০:

প্রদত্ত প্রশ্ন:
বাড়ির তিনটি কেরোসিন ট্যাঙ্কের ধারণক্ষমতা 800 লিটার, 725 লিটার এবং 575 লিটার। যদি প্রয়োজনীয় কেরোসিনের অনুপাত 4:3:2 হয়, তবে প্রতিটি ট্যাঙ্কে কত লিটার তেল থাকবে তা নির্ণয় কর।

সমাধান:
মোট অনুপাত = $4 + 3 + 2 = 9$
প্রতিটি ট্যাঙ্কে তেলের পরিমাণ:
$\text{প্রথম ট্যাঙ্ক} = \frac{4}{9} × (800 + 725 + 575) = \frac{4}{9} × 2100 = 933.33 \, \text{লিটার}$
$\text{দ্বিতীয় ট্যাঙ্ক} = \frac{3}{9} × 2100 = 700 \, \text{লিটার}$
$\text{তৃতীয় ট্যাঙ্ক} = \frac{2}{9} × 2100 = 466.67 \, \text{লিটার}$

উত্তর:
প্রথম ট্যাঙ্কে 933.33 লিটার,
দ্বিতীয় ট্যাঙ্কে 700 লিটার,
তৃতীয় ট্যাঙ্কে 466.67 লিটার।

---

প্রশ্ন ২১:

প্রদত্ত প্রশ্ন:
একটি পরিবার দৈনিক 950 লিটার পানির প্রয়োজন হলে এবং যদি এই পরিবারের 25% পানির চাহিদা একটি ট্যাঙ্ক থেকে পূরণ করতে হয়, তবে ট্যাঙ্কটি কত লিটার ধারণ করতে হবে তা নির্ণয় কর।

সমাধান:
পানির প্রয়োজনীয়তা:
$25\% × 950 = \frac{25}{100} × 950 = 237.5 \, \text{লিটার}$

উত্তর: ট্যাঙ্কের ধারণক্ষমতা 237.5 লিটার।

---

প্রশ্ন ২২:

প্রদত্ত প্রশ্ন:
একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 20 মিটার এবং প্রস্থ 18.5 মিটার। গভীরতা 3.2 মিটার হলে, এটি পূরণ করতে কত লিটার পানি লাগবে তা নির্ণয় কর।

সমাধান:
আয়তন $V = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা$
$V = 20 × 18.5 × 3.2 = 1184 \, \text{ঘনমিটার}$
পানি: $1184 × 1000 = 1184000 \, \text{লিটার}$

উত্তর: প্রয়োজনীয় পানি 1184000 লিটার।

---

প্রশ্ন ২৩:

প্রদত্ত প্রশ্ন:
একটি জায়গায় দৈর্ঘ্য 12 মিটার এবং প্রস্থ 8.5 মিটার হলে এবং এর উপরের গভীরতা 1.5 মিটার হলে, জমির আয়তন নির্ণয় কর।

সমাধান:
আয়তন $V = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা$
$V = 12 × 8.5 × 1.5 = 153 \, \text{ঘনমিটার}$

উত্তর: জমির আয়তন 153 ঘনমিটার।

---

প্রশ্ন ২৪:

প্রদত্ত প্রশ্ন:
যদি একটি আয়তক্ষেত্রাকার বস্তুর দৈর্ঘ্য 440 মিমি এবং প্রস্থ 88 বর্গ সেমি হয়, তবে এর উচ্চতা কত হবে তা নির্ণয় কর।

সমাধান:
দৈর্ঘ্য $440 \, \text{মিমি} = 44 \, \text{সেমি}$।
আয়তন $V = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা$
$V = 44 × 88 × h$
উচ্চতা $h$ বের করতে হবে।

যদি পূর্ণ তথ্য জানা থাকে, তা হলে $h$ নির্ণয় করা সম্ভব।

আপনার দেওয়া তথ্য অনুযায়ী উচ্চতা হিসাব করা হচ্ছে।

উত্তর: প্রয়োজনীয় আরও তথ্য দেওয়া হলে চূড়ান্ত সমাধান দেওয়া যাবে।

---

আপনার প্রয়োজন অনুযায়ী কোনো প্রশ্নের ব্যাখ্যা দরকার হলে জানান।